嵌入
知者不言，言者不知。——老子，公元前6世纪中国诗人
我们在图1中看到的钟摆显然具有一个相空间肖像（一个圆），可以很好地拟合到二维平面上。图5中重建的相空间肖像也是一条没有交叉的圆形曲线。毫无疑问，这是一个有效且有用的重建。但是，如果现场的系统具有两个以上的变量，并且它们的相互依赖性可能不那么平滑呢？虽然我们的钟摆只是在相空间中来回摆动，但可能存在其他具有三个独立变量的机制，需要在其原始相空间中具有三个维度。更糟糕的是，它们的肖像可能看起来更像过山车而不是扁平的圆圈。在20世纪80年代，科学家们研究了这个问题，并找到了处理这种情况的方法和理由。
- 延迟相空间能否在所有情况下重建原始相空间？ 可以，但前提是必须满足一些必然的要求。变量之间必须存在显着的相互作用，否则（弱）变量的影响可能会丢失。此外，在存在环境噪声的情况下，微弱的相互作用可能会丢失。
- 重建的相空间必须有多少个维度？ 为延迟相空间选择过低的维度会导致“扁平化”的曲线并产生交叉点。幸运的是，拓扑学家证明了一个定理，给出了一个上限：如果机制具有n个独立变量，则具有2n+1个变量的延迟相空间始终可以避免交叉点。在大多数情况下，需要的变量更少。 这称为嵌入维度de（始终为整数）。
- tau和de的最佳值是什么，能够产生良好的重建效果？ 没有通用的方法可以预先知道要使用哪些值。但是，已经开发了许多算法来判断给定参数tau和de的质量。一种流行的方法是False Nearest Neighbours（错误最近邻）算法。它查看给定的延迟相空间肖像，并记住哪些点是邻居。如果在增加de后，这些点不再彼此接近，则当前的de看起来不足。
20世纪80年代的从业者最常犯的错误之一是在没有思考的情况下使用固定的tau。如果您的数据质量有问题（由于重建不良或任何来源的噪声），那么追逐混沌迹象就没有意义了。
© . All rights reserved.